Цікавинки для уроків

понеділок, 28 лютого 2011 р.

ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ ПРО ЧИСЛА

Як же виникла лічба? З давніх-давен люди дошукувалися відповіді на це запитання. І в різних народів відповідь була неоднакова. Стародавні греки, наприклад, вважали, що людей навчив лічити Прометей. Той самий, що за легендою викрав у богів вогонь і віддав його людям. Взагалі більшість народів появу числа пов'язувала з "діяннями" богів або ж міфічних героїв. Щоправда, інколи цю заслугу приписували людям, які насправді жили колись. Автори староруських рукописів, наприклад, вважали, що лічбу винайшов Піфагор - старогрецький математик, який жив у VI столітті до нашої ери. Піфагор був великим математиком, але ж люди вміли лічити задовго до VI століття! І не просто вміли лічити, а й мали вчених, які писали математичні книги. Найдавніша математична книга дійшла до нас з другого тисячоліття до нашої ери.

Доведено, що був час, коли люди обходилися без чисел. Наприклад, мешканці австралійських джунглів, бажаючи обмінятися продуктами, чинили так. Люди одного племені клали на землю в'язки їстівного коріння, а другого - навпроти кожної такої в'язки ставили кошик з рибою. Встановивши відповідність цих множин (між в'язками й кошиками), провадили обмін.

З розвитком людства лічба ставала потребою, а пальці рук і ніг довго були знаряддям лічби. Як люди використовували пальці для лічби, покажемо на прикладі індіанців племені таманака (Південна Америка).Замість "один" індіанці говорять "палець" і обов'язково показують палець. Назви деяких інших чисел цього племені подано в таблиці.

Числа	Назви чисел у індіанців
Два	Два пальці
Чотири	Чотири пальці
П'ять	Рука
Шість	Палець на другій руці
Десять	Дві руки
Одинадцять	Палець на одній нозі
П'ятнадцять	Нога і дві руки
Шістнадцять	Палець на другій нозі
Двадцять	Людина
Двадцять один	Один палець на руці другої людини
Сто	П'ять людей

Ще й зараз деякі відсталі народи та малі діти користуються пальцями при лічбі.

Є підстави гадати, що єгиптяни лічили за допомогою лічильної дошки із накресленими на ній смугами. На кожній смузі розкладали камінці - їх було не більше дев'яти. Щоразу, коли доводилося класти десятий камінець, з цієї смуги скидали всі камінці на сусідню, праву, смугу клали один камінець. Таким •ш пом, єгиптяни лічили, як ми. Можна гадати, що їхня лічильна дошка була прообразом нашої рахівниці.

Уміння лічити і записувати результати лічби прийшло до людей з життєвим досвідом. Саме життя спонукало людину до цього.

Спочатку кількість передавали за допомогою малюнка. Приміром, щоб показати число 1, малювали 1 палець, 2 - два пальці, 10 - з'єднані руки, 100 - згорнуту вимірну мотузку, 1000 - квітку лотоса. Взагалі квітка лотоса була символом великого числа. Цей спосіб запису чисел застосовували в стародавніх країнах - Єгипті і Китаї. Греки ще в V столітті до нашої ери назвали такі знаки ієрогліфами - "священним різьбленням".

З розвитком писемності, зокрема буквеного письма, числа почали записувати словами. Спочатку записували повністю, потім скорочено, використовуючи лише першу літеру числівника. Стародавні математики прийшли до висновку: це не дуже зручно, і от у V столітті до нашої ери зароджується нова, алфавітна система нумерації: першими дев'ятьма літерами позначали одиниці (від 1 до 9), наступні дев'ять літер використовувалися для позначення десятків (від 10 до 90), а ті, що йшли за ними, дев'ять літер - для позначення сотень (від 100 до 900).

Проте у щойно згаданих систем нумерації - ієрогліфічній та алфавітній - був один досить суттєвий недолік: ієрогліфічні знаки й літери не мали чітко визначеного місця - позиції. Такий запис дуже ускладнював обчислення. Щоправда, ще у стародавньому Вавілоні, де користувалися своєрідним письмом - клинописом і де числа позначали тими ж значками-клинцями, вже намагалися закріпити за одиницями, десятками, сотнями певне місце. До цього вавілонян змушувала обмежена можливість їхнього письма. Клинці є клинці, багато їх не вигадаєш! От і додумалися закріпити за певними розрядами чисел певне місце. Значно пізніше, з другого століття нової ери, цю спробу самостійно почали розвивати в Греції, а незабаром позиційний запис чисел удосконалюють в Індії. Саме індійська система лягла в основу нашої нинішньої системи числення.

Систему числення, основану на позначенні всіх натуральних чисел десятьма знаками - цифрами, вперше описав і застосував у IX столітті талановитий син узбецького народу Магомет син Муси із Хорезму в рукописі "Арифметика індорум".

У Європі нова система нумерації стала відома на початку XIII століття завдяки італійському вченому Леонардо Пізанському, який описав її в 1202 році у своїй праці "Книга обчислень". Але утвердилася ця система в Західній Європі значно пізніше - у ХУ-ХУІ століттях.

На Русі про арабсько-індійську систему знали ще в XIII столітті. Так на одному знайденому дзвоні, виготовленому у ті часи, знаходимо цю нову нумерацію. На початку XVII століття цими цифрами вже нумерують сторінки російських книг, їх карбують на золотих монетах. А в середині століття ними користуються в рукописних працях. В 1703 році в "Арифметиці" Леонтія Магницького усе арифметичне вчення викладене на основі позиційної системи числення, і тільки сторінки підручника позначені слов'янською нумерацією.

Як виникло саме слово цифра? Походить воно від арабського слова "сифр", що в перекладі означає "порожнє місце". Річ . і їм, що індійці не мали чим позначати відсутність розрядного Числа і там, де нині стоїть нуль, ставили крапку, яку називали "сифр". Коли ж з'явився нуль, його також стали називати цифрою. Так було до XVIII століття - поки він дістав своє наймення під латинського слова "нулюс", що означає "ніякий". А цифрами пали називати символи чисел взагалі.

Назви десяти цифр у всіх слов'ян дуже схожі, їх можна пі-шати, коли говорять чех, поляк, болгарин, серб, українець, росіянин, білорус. А от назви великих чисел різняться помітно, бо Г являлися пізніше. І кожен народ виробляв свої найменування. Ми кажемо, наприклад, двадцять п'ять, а чехи - п'ять і двадцять; ми кажемо сорок, а поляки - чтердзесці (чотири десятки).З операціями додавання і віднімання люди мали справу задовго до того, як числа дістали імена. Коли кілька груп збирачів ягід або рибалок складали в одне місце свою здобич, вони виконували операцію додавання. Правда, при цьому додавались не числа, а сукупності (або, як говорять математики, множини) предметів, але операція додавання чисел якраз описує додавання сукупностей предметів. А коли із зібраних горіхів частина використовувалася в їжу, люди виконували віднімання - запас горіхів зменшувався.

З операцією множення люди познайомилися, коли почали сіяти хліб і побачили, що зібраний врожай у кілька разів більший, ніж кількість посіяного зерна. Говорили: зібраний врожай "сам - двадцять" (у двадцять разів більше зібрали, ніж посіяли), "сам - сорок" і т.д. Нарешті, коли здобуте на полюванні м'ясо тварин або зібрані горіхи ділили порівну між усіма членами племені, виконували операцію ділення.

Самі назви цих операцій показують, з якими діями над предметами вони пов'язані. Але повинні були пройти тисячоліття, поки люди зрозуміли, що додавати, віднімати, множити і ділити можна не самі сукупності предметів, а числа.

Знаки арифметичних дій, рівності та нерівності з'явилися у такому вигляді, як ми їх знаємо, з поширенням у Європі арабського написання чисел. Звичайно, не всі зразу.

Першими народилися знаки додавання "+" і віднімання їх наприкінці XV століття застосував лейпцігський професор Ян Відман у творі "Швидка і красива лічба для всього купецтва".

Але ж люди вміли віднімати й додавати і раніше! Як же позначали ці дії на письмі? У різних народів по-різному. Єгиптяни, наприклад, коли хотіли додати два числа, схематично малювали дві людські ноги, що "рухалися" вперед, а при відніманні ступні цих ніг скеровували в зворотному напрямку. У стародавніх греків додавання позначали вертикальною рискою, а віднімання - значком, схожим на кому. У Європі дію додавання ще позначали літерою "р" або "Р" (початкова літера латинського слова "плюс" - більше), а віднімання "т" або "М" (від латинського "мінус" - менше). Однак ці позначення не прижилися.

Знак множення "х" - навскісний хрест - знаходимо у праці англійського математика Уїльяма Оутреда "Математичний ключ" (1631 рік). Згодом, у 1698 році, видатний німецький математик Готфрід-Вільгельм Лейбніц дію множення запропонував передавати крапкою (•), а трохи раніше, у 1684 році, впровадив дві крапки (:) для позначення ділення. Щоправда, ці знаки дістали загальне визнання і набули поширення лише у XVIII столітті завдяки підручникам німецького математика Хрістіана Вольфа.

Знак рівності "=" ввів англійський учений Роберт Рекорд ще в XVI столітті. На його думку, ніщо не може передати рівність так, як два однакових паралельних відрізки. До нього в математиці користувалися іншими знаками рівності. Так старогрецький математик Діофант відношення рівності позначав літерою "і" (початкова у слові "ізос" - рівний). Індійські й арабські математики, а також більшість європейських, найчастіше, аж до XVII століття, вживали для цього повністю або скорочено слово "рівний".

Знаки "<" і ">" для позначення відношень нерівності систематично . почав застосовувати англійський математик Томас Гарріот. Його книжка, де він вживає ці знаки, побачила світ у 1631 році.

Дужки круглі знаходимо у математичних творах першої половини XV століття. До їхньої появи ставили риски над виразом, якого вони стосувалися, або ж під ним, що було дуже незручно під час друкування.

Знак ділення й дробу - горизонтальна риска - вперше зустрічається у згадуваного вже нами італійського математика Леонардо Пізанського, який, мабуть, запозичив його з арабських рукописів. Для зручності в друкуванні англієць Август де Морган замінив горизонтальну риску навскісною.

Наука, яка почала вивчати числа і дії над ними, дістала нашу "арифметика" (від грецького arithmos, що означає "число").

ПРИТЧА ДО УРОКУ

Будь налаштований позитивно!

Жили-були собі маленькі жабенята, які організували змагання з бігу. їхньою ціллю було забратися на вершину вежі.

Зібралося багато глядачів, які хотіли подивитися на ці змагання і посміятися над їхніми учасниками. Змагання розпочалися.

Правда, те, що ніхто із глядачів не вірив, що жабенята зможуть забратися на вершину вежі. Чутні були такі репліки: «Це занадто складно!», «Вони НІКОЛИ не заберуться на вершину!» або «Немає шансів! Вежа занадто висока!». Маленькі жабенята почали падати. Одне за другим... за винятком тих, у яких відкрилося друге дихання, вони стрибали усе вище і вище... Юрба все одно кричала «Занадто важко!!! Жоден не зможе це зробити!». Ще більше жабенят утомилися й падали... Тільки ОДНЕ піднімалося усе вище й вище... Той єдиний не піддався!!!

Зрештою, усі піддалися. За винятком того одного жабеняти, яке, доклавши всіх зусиль, забралося на вершину! ТОДІ всі жабенята захотіли дізнатися, як йому це вдалося? Один учасник запитав, як же цьому жабеняті, що добрався до вершини, вдалося знайти у собі сили? Виявляється переможець був ГЛУХИМИ

Дивовижний секрет (казка про фотосинтез)

Ти, напевно, помічав, що все у світі рухається. Не лише літаки і автомобілі, а й маленькі часточки, з яких складається все навкруги, навіть ти і я. Такі складові вчені називають речовинами. Вони, неначе будівельний матеріал, складають наше тіло, допомагають працювати нашому мозку, а м’язам – рухатися. Речовини потрапляють до нас протягом усього життя – ось чому ми ростемо, стаємо розумними та сильними.
А чи знаєш, звідки беруться ці речовини? Я повідаю тобі один дивовижний секрет, а ти можеш розповідати його друзям! Послухай про казкову мандрівку сонячного проміння.
Велике гаряче сонечко лагідно зігріває нашу планету, на якій ростуть зелені рослини, живуть різні тварини і ми – люди. Всім нам потрібна їжа – для того щоб рости, розвиватися, набувати досвіду.
Сонечко дарує нашій маленькій планеті Земля багато свого тепла. Зелені рослини навчилися ловити промінці сонечка: для цього вони мають багато зелених сачків – хлоропластів. Спіймавши сонячні золоті промінчики, хлоропласти складають з їх допомогою їжу для всіх живих істот – складні органічні речовини.
Згадали про речовини! Це ж вони надходять до нас з їжею, допомагають рости, рухатися. Так сонячне проміння мандрує з великого космосу через зелені рослини до нас з вами! Восени, коли сонячним промінчикам потрібно більше часу, щоб долетіти до нашої чудової планети, відбуваються неймовірні перетворення: зелене листячко поступово змінює колір на жовтий або червоний. Майже усі рослини повільно засинають і вкривають землю теплою ковдрою пожовклого листя. Комахам та іншим мешканцям ґрунту буде де зимувати. Речовини, які утворилися навесні та влітку, поступово потрапляють до матінки Землі у ґрунт. Пухнастим снігом прикриє зима всіх мешканців сонного царства, а навесні сонечко знову надішле тепло, потягнуть коріння рослин речовини з ґрунту, розпустить гілочки зелене листя і знову розпочнеться робота в зелених «фабриках».
Згадайте, що було у вас на сніданок, і ви зрозумієте – рослини обов’язково завітали до нашого організму зі своїми дивовижними речовинами, які утворили сонячні промінці! Ростіть здоровими, мої розумні сонячні читачі, та пам’ятайте: все у світі рухається і ви дуже швидко станете дорослими!

Фігурно опадає листя.
Оскільки сонечка нема,
То дерево зніма намисто
Осіннього пожовклого листа.
Стрункі стоять без одягу дерева,
Стискає холод силу їх життя.
Неначе дивний сон злітає з неба,
Та кличе всіх в зимове забуття.
Земля одягне випрану сорочку,
Замріяно зупиниться буття,
І солодко дрімають всі дерева,
Аж доки не розбудить їх весна!

Прочитай слово, заховане у вірші. Дізнайся секрет, який відбувається в зеленому листочку!

Вправи до теми "Слово"

1.    Запиши слова споріднені зі словом синій.
2.    З кожної групи слів вибери спільнокореневі. Познач корінь.
Сова, совеня, совок, совиний.
Син, синок, синій, синівський
Дорогий, дорога, дорожній, подорожний, дорожчати.
Мило, мильниця, милитися, милуватися, мильце, мильний.

3.    Склади прислів’я і запиши. Підкресли слова протилежні за значенням.
Нових друзів наживай,                                  а лінь марнуй
З поганої трави не буде                                 доброго сіна
Чим нива чорніша,                                           а старих не забувай.
Праця людину годує,                                       тим хлібець біліший.

4.    Згрупуй слова близькі за значенням.
Дорогий, розумний, цінний, тямущий, духм’яний, кмітливий, ласкавий, охайний, іжний, чепурний, привітний, акуратний.

5.    Познач рядок слів, які називають ознаку предметів
А) Кисла, смачна, рум’яна
Б)доброта, лагідність, матуся
В) посадити, зібрати, водяна

А) висота, дерево, солодощі
Б)вітряний, похмурий, осінній
В) збирати, сушити, полетіти

А) малий, квочка, стрибає
Б) радісна, червоний, дерев’яна
В) мороз, мова, білка

6.    Познач рядок слів, які називають назву предмета

А)миша, радість, місто
Б) стояти, зелений, біг
В) робітник, пливе, поїзд

А) машина, повзе, червоний
Б) дім, собака, смуток
В) чоловік, дитина, спить

А) праця, рядок, товариш
Б) дерев’яний, скляний, тарілка
В) швидко, стрибнути, машина

7.    Познач рядок слів близьких за значенням до слова говорити.
А) розмовляти, балакати, казати
Б) шуміти, тупотіти, стрибати
В) писати, читати, малювати

8.    Познач рядок слів близьких за значенням до слова іти.
А) крокувати, плестися, брести
Б) летіти, бігти, спотикатися
В) їхати, сидіти, стояти

9.    Виділи корінь у словах
Веселий, веселити, веселка
Зелений, зеленіє, зелень
Лікар, ліки, лікувати
Рід, рідний, рідня
Синька, синіти, посинів

10.    Познач спільнокореневе слово, назву дії до слова будинок
А) будувати
Б) будівля
В) будка

11.    Познач спільнокореневе слово, назву ознаки до слова казка.
А) казати
Б) казковий
В)казочка

12.    Доберіть до дієслів слова протилежні за значенням.

загадав –
говорити –
відлетів –
запитати –
добро –
Гамір –
Смуток –
Скупість –
Життя –
Старе –
Холод –

13.    До даних іменників доберіть три прикметника
Сонечко –
Мова –
Мама –
Тато –
Квітка –
Сніг –
Мороз –
Вітер –
Дитина –

14.    До слів іменників доберіть споріднені дієслова і прикметники, виділіть корінь
Ліки –
Мороз –
Світло –
Зима –
Квітка –

15.    Познач рядок слів, які є спільнокореневими.
А) сміливий, безстрашний, хоробрий
Б) квітка, квітучий, квітнути
В) сон, синівський, синок, син
Склади і запиши з цими словами словосполучення

16.    Познач рядок слів, які є спільнокореневими.
А) зелений, зеленіє, зелененький
Б) колір, колія, колодязь
В) дуб, дубовий, дубок, діброва
Склади і запиши з цими словами словосполучення

ВПРАВИ ДЛЯ ТРЕНІНГУ МИСЛЕННЯ МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Безсумнівно, тренінг мислення на уроках математики в початкових класах сприяє розвитку творчих математичних здібностей молодших школярів. Однак, як засвідчує практика, не завжди цьому питанню приділяється належна увага: або бракує часу, або ж в учителя немає під рукою таких вправ, що потребують творчого пошуку, кмітливості, тобто таких, які можна було б використати з метою тренінгу мислення молодших школярів.

У шкільних підручниках подібних завдань, на жаль, дуже мало, тому ми пропонуємо вправи з різних тем шкільної програми з математики для початкових класів. Сподіваємося, що вчителі, використовуючи їх у своїй роботі, переконаються у доцільності їх виконання на уроках і самі складатимуть аналогічні чи якісь нові, що сприятиме розвитку творчих математичних здібностей молодших школярів.

Отже, тренінг мислення на уроках математики в початкових класах можна здійснювати за допомогою таких вправ.

1. Визначте закономірність у розміщенні чисел у кожному рядку і допишіть відповідно до цієї закономірності ще по два числа.

1) 3; 4; 5; 6; 7; 8; ? ?

2) 8; 7; 6; 5; 4; 3; ? ?

3) 6; 9; 12; 15; 18; 21; ? ?

4) 7; 12; 17; 22; 27; 32; ? ?

5) 40; 35; 30; 25; 20; 15; ? ?

6) 15; 19; 23; 27; 31; 35; ? ?

7) 2; 4; 8; 16; 32; 64; ? ?

8) 74; 71; 68; 65; 62; 59; ? ?

9) 16; 17; 15; 18; 14; 19; ? ?

10) 1; 2; 4; 8; 16; 32; ? ?

2. Визначте закономірність і замініть знак питання числом.

1) 16 8 8

27 15 12

32 19 ?

2) 12 9 3

34 7 27

15 8 ?

3) 28 16 12

34 25 9

56 33 ?

4) 45 9 5

63 7 9

72 8 ?

5) 66 3 22

16 4 4

27 9 ?

6) 48 31 17

15 9 6

39 13 ?

7) 54 9 7 52

18 5 43 56

51 13 28 ?

8) 34 2 5 22

28 4 24 31

45 5 62 ?

9) 7 6 9 33

15 4 26 34

9 3 11 ?

10) 36 6 15 21

49 7 9 16

18 2 48 ?

3. Розставте математичні знаки так, щоб рівність була правильною.

1) 1 2 3 4 5 =0

2) 1 2 3 4 5 =1

3) 1 2 3 4 5 =2

4) 1 2 3 4 5 =3

5) 1 2 3 4 5 =4

6) 1 2 3 4 5 =5

7) 1 2 3 4 5 =6

8) 1 2 3 4 5 =7

9) 1 2 3 4 5 =8

10) 1 2 3 4 5 =9

11) 1 2 3 4 5 =10

4. Визначте закономірність і замініть знак питання числом.

1) 12 6 18

6 18 12

? 15 25

25 ? 10

2) 48 2 24

2 24 48

35 ? 7

5 ? 35

3) 45 5 9

? 9 45

36 6 6

? 6 36

Відповіді:

1. 1) 9, 10; 2) 2, 1; 3) 24, 27; 4) 37, 42; 5) 10, 5 6) 39, 43;

7) 128, 256; 8) 56, 53; 9) 13, 20; 10) 64, 128

2. 1) 13, 2) 7, 3) 23, 4) 9, 5) 3, 6) 26, 7) 66, 8) 69 9) 16, 10) 57.

3. 1) (1 + 2) • 3 - (4 + 5) = 0

2) 1 + 2 - (3 + 4 - 5) = 1

3) (1 + 2 + 3 + 4) : 5 = 2

4)12:3+4-5=3

5) 1-2+3+4-5=4

6) 1+2+3+4-5=5

7) 12 + 3 - (4 + 5 ) = 6

8) 1+2+3-4+5=7

9) (1 + 2) • 3 +4-5 = 8

10) 1+2-3+4+5=9

11) (1 + 2) • 3 -4 + 5 = 10

4. 3) 25; 4) 81; 5) 10, 15; 6) 5, 7; 7) 5, 6; 8) 45 9) 37;

10) 8; 11) 45; 12) 8; 13) 28; 14) 58; 15) 39, 40 16) 2, 21;

17) 89; 18) 48; 19) 60; 20) 72; 21) 79; 22) 70 23) 42;

24) 24; 25) 42.